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品质因子

时间:2013-07-14来源:机器视觉网http://shixinhua.com 作者:石鑫华 点击: 999999次

品质因子

品质因子Q因子是物理及工程中的无量纲参数,是表示振子阻尼性质的物理量,也可表示振子的共振频率相对于带宽的大小, 高Q因子表示振子能量损失的速率较慢,振动可持续较长的时间,例如一个单摆在空气中运动,其Q因子较高,而在油中运动的单摆Q因子较低。高Q因子的振子一般其阻尼也较小。
Q因子
一阻尼谐振子的带宽, 带宽可以用频率和能量的图来表示。阻尼谐振子(或滤波器)的Q因子为Q因子。Q因子越大,其波峰高度会越高,而其宽度会越窄

定义

Q因子可定义为在一系统的共振频率下,当信号振幅不随时间变化时,系统储存能量和每个周期外界所提供能量的比例(此时系统储存能量也不随时间变化):
Q因子可定义
大部份的共振系统都可以用二阶的微分方程表示,Q因子中2π的系数,使Q因子可以表示成只和二阶微分方程系数有关的较简单型式。在电机系统中,能量会储存在理想无损失的电感及电容中,损失的能量则是每个周期由电阻损失能量的总和。力学系统储存的能量是该时间动能及位能的和,损失的能量则是因为摩擦力或阻力所消耗的能量。
针对高Q因子的系统,也可以用下式计算的Q因子,在数学上也是准确的:
计算的Q因子
其中fr为共振频率,Δf为带宽,ωr = 2πfr是以角频率表示的共振频率,Δω是以角频率表示的带宽
在像电感等储能元件的规格中,会用到和频率有关的Q因子,其定义如下:
和频率有关的Q因子
其中ω是计算储存能量和功率损失时的角频率。若电路中只有一个储能元件(电感或是电容),也可用上式来定义Q因子,此时Q因子会等于无功功率相对实功功率的比例。
 

说明

Q因子较高的振子在共振时,在共振频率附近的振幅较大,但会产生的共振的频率范围比较小,此频率范围可以称为带宽。例如一台无线电接收器内的调谐电路Q因子较高,要调整接收器对准一特定频率会比较困难,但其选择性(英语:selectivity (electronic))较好,在过滤频谱上邻近电台的信号上也有较佳的效果。Q因子较高的振子会产生共振的频率范围较小,也比较稳定。
 
系统的Q因子可能会随着应用场合及需求的不同而有大幅的差异。强调阻尼特性的系统(例如防止门突然关闭的阻尼器)其Q因子为12,而时钟、激光或是其他需要强烈共振或是要求频率稳定性的系统其Q因子也较高。音叉的Q因子大约为1000,原子钟、加速器中的超导射频(英语:Superconducting Radio Frequency)或是光学共振腔(英语:optical cavity)的Q因子可以到1011甚至更高。
 
Q因子的概念是来自电子工程中,评量一调谐电路或其他振子的“品质”。

Q因子及阻尼

Q因子可决定一个简单阻尼谐振子的量化特性(有关数学的细节及不同系统的行为,请参考谐振子及线性时不变系统理论等条目)。
 
  • 低Q因子的系统(Q < ½)是过阻尼系统。过阻尼系统不会振荡,当偏离稳态输出平衡点时,会以指数衰减的方式,渐近式的回到稳态输出。其冲激响应是二个不同速度的指数衰减函数的和。当Q因子减少时,衰减较慢的响应函数其影响会变明显,因此整个系统会变慢。一个Q因子很低的二阶系统其步阶响应类似一阶系统。
  • 高Q因子的系统(Q > ½)是欠阻尼系统。欠阻尼系统在特定频率的输入下,其输出会振荡,其振幅也会指数衰减。Q因子略高于½的系统可能会振荡一或二次。若Q因子提高,阻尼的效果也会降低。高品质的钟在敲击后可以长时间发出单一音调的声音,没有阻尼的谐振系统其Q因子是无限大,类似一个敲击后可永远发出声音的钟。若二阶低通滤波器有很高的Q因子,其步阶响应一开始会快速上升,在平衡点附近震荡,最后才收敛到稳态的值。
  • Q因子为½的系统是临界阻尼系统。临界阻尼系统和过阻尼系统一様不会震荡,也不会有过冲的情形。临界阻尼系统和欠阻尼系统一様,会对阶跃有快速的响应,临界阻尼可以使系统在不过冲的条件下有最快的反应,实际的系统若要求更快的反应,一般会允许一定程度的过冲,若系统不允许过冲,可能会使反应时间放慢,以提供一定的安全系数(英语:factor of safety)。
在负回授系统中,闭回路系统的响应常常用二阶系统来表示。设定开回路系统的相位裕度(英语:phase margin)可以决定闭回路系统的Q因子,当相位裕度减少时,对应的二阶闭回路系统振荡会变大,也就是Q因子提高。

常见系统的Q因子

  • 单位增益的Sallen–Key拓扑结构(英语:Sallen–Key filter topology)滤波器为临界阻尼系统,Q因子为Q因子)。
  • 巴特沃斯滤波器(有最平坦通带频率响应的的连续时间滤波器)为欠阻尼系统,Q因子为Q因子
  • 贝塞尔滤波器(有最平坦群延迟(英语:group delay)的连续时间滤波器)为欠阻尼系统,Q因子为Q因子 。
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